ALGEBRA WSPÓŁCZESNA I JEJ ZASTOSOWANIA Nadiya Gubareni

Przedmowa

• Wiadomości wstępne
  • Podstawowe wiadomości z teorii zbiorów
  • Działania wewnętrzne i zewnętrzne. Struktury algebraiczne
  • Przestrzenie liniowe
  • Zadania
• Elementy teorii liczb

1. Podzielność liczb całkowitych. Liczby pierwsze. Dzielenie z resztą
   1. Algorytm Euklidesa. NWD oraz NWW liczb całkowitych
   2. Liniowe równania diofantyczne
   3. Kongruencje i ich własności
   4. Rozwiązanie kongruencji liniowych
   5. Zadania
2. Elementy teorii grup
   1. Półgrupy, monoidy i grupy
   2. Permutacje i grupy permutacji
   3. Warstwy. Twierdzenie Lagrange’a
   4. Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe
   5. Homomorphizmy grup. Twierdzenia o homomorfizmach grup
   6. Zadania
3. Przykłady grup
   1. Inwersje i transpozycje
   2. Permutacje parzyste i nieparzyste. Grupa alternująca
   3. Grupy cykliczne
   4. Grupy symetrii figur geometrycznych. Grupy dihedralne
   5. Zadania
4. Elementy teorii pierścieni
   1. Pierścienie i podpierścienie
   2. Pierścienie całkowite i ciała
   3. Ideały i homomorfizmy pierścieni
   4. Pierścienie ilorazowe
   5. Pierścienie euklidesowe. Algorytm Euklidesa
   6. Ideały maksymalne oraz ideały pierwsze
   7. Pierścienie ideałów głównych
   8. Pierścienie z jednoznacznym rozkładem
   9. Chińskie twierdzenie o resztach
   10. Zadania
5. Zastosowania teorii liczb, grup i pierścieni
   1. Funkcja Eulera i jej własności
   2. Twierdzenie Eulera. Małe twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona
   3. Rozwiązanie kongruencji liniowych metodą Eulera
   4. Rozwiązanie układów kongruencji liniowych
   5. Problem dzielenia sekretu. Algorytm Shamira. Algorytm Mignotte’a
   6. Algorytm kryptograficzny RSA
   7. Zadania
6. Pierścienie wielomianów jednej zmiennej
   1. Wielomiany jednej zmiennej
   2. Dzielenie z resztą
   3. Największy wspólny dzielnik wielomianów. Algorytm Euklidesa
   4. Rozkładalność wielomianów. Wielomiany nierozkładalne
   5. Pierwiastki wielomianów. Twierdzenie Bézout
   6. Wielomiany nad ciałem liczb wymiernych
   7. Ilorazowe pierścienie wielomianów
   8. Zadania
7. Elementy teorii ciał
   1. Ciała ułamków pierścieni całkowitych
   2. Charakterystyka ciała
   3. Rozszerzenia ciał
   4. Elementy algebraiczne. Rozszerzenia algebraiczne
   5. Ciała rozkładu
   6. Ciała algebraicznie domknięte
   7. Wielomiany nad ciałem liczb zespolonych i ciałem liczb rzeczywistych
   8. Zadania
8. Pierścienie wielomianów wielu zmiennych
   1. Wielomiany wielu zmiennych
   2. Wielomiany symetryczne
   3. Pierścienie noetherowskie. Twierdzenie Hilberta o bazie
   4. Porządek jednomianów
   5. Dzielenie wielomianów z resztą
   6. S-wielomiany
   7. Baza Gröbnera
   8. Algorytm Buchbergera
   9. Zredukowana baza Gröbnera
   10. Zastosowania baz Gröbnera
   11. Zadania
9. Ciała skończone i ich zastosowania
   1. Konstrukcja ciał skończonych
   2. Multiplikatywna grupa ciała skończonego
   3. Pierwiastki pierwotne i indeksy. Problem logarytmu dyskretnego
   4. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfr ElGamala
   5. Kody wykrywające i korygujące błędy
   6. Zadania
10. Algebry skończenie wymiarowe
    1. Kwaterniony i ich własności
    2. Oktoniony - oktawy Cayleya
    3. Algebry i ich własności
    4. Algebry z dzieleniem. Algebry z inwolucją. Algebry unormowane
    5. Konstrukcja Cayleya-Dicksona
    6. Zadania
11. Kwaterniony, oktoniony i ich zastosowania
    1. Tożsamości iloczynów sum kwadratów
    2. Liczby całkowite Gaussa
    3. Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów
    4. Twierdzenie Lagrange’a o sumie czterech kwadratów
    5. Postać trygonometryczna kwaternionów
    6. Obrót wektora wokół osi przy pomocy kwaternionów
    7. Zadania

Literatura
Skorowidz nazw